Se necesitaba un enlace entre las matemáticas y la plástica, llegó M. C. Escher

Una de las características de las matemáticas que hacen
difícil el enseñarlas, es su doble naturaleza de herramienta
para construir cosas y herramienta para pensar sobre las cosas.
Reflexionaremos sobre la manera en que la obra del grabador holandés

Escher ilustra esta doble naturaleza de las matemáticas.

Maurits Cornelius Escher nació en 1898 y murió en 1972. Es
contemporáneo, por ejemplo a Marcel Duchamp (1887-1968)
y Pablo Picasso (1881-1973) y, aunque la obra de estos tres
artistas no puede ser más distinta, un aspecto une a los tres
creadores: todos se inspiraron en algún momento en ideas
matemáticas, y en los tres casos las matemáticas pueden, a su
vez, ayudarnos a entender su obra (Cipra, 1999). Curiosamente,
además, se da una aparente paradoja: por un lado,
mucho del trabajo de Escher tiene un aspecto clásico, mientras
que Duchamp y Picasso son, sin ninguna duda, artistas
del siglo XX; por otro, las matemáticas que inspiraron a
Duchamp y Picasso datan del siglo XIX, mientras que Escher
se metió de lleno en algunas de las creaciones geométricas
más hermosas del siglo XX. Trabajó fundamentalmente en
grabados sobre madera y litografías, y muchas de las imágenes
que produjo están inspiradas directamente por las distintas
nociones matemáticas de simetría.

Clásicamente, en matemáticas se distinguen tres superficies
“muy” simétricas: el plano euclídeo, el plano
hiperbólico y la esfera. Estas tres superficies (ó geometrías)
satisfacen todas ellas todos los postulados de la geometría
euclídea salvo uno: el postulado quinto, un postulado muy
sutil que nos habla de la existencia y unicidad de las rectas que
pasan por un punto y son paralelas a otra recta dada.

La obra de Escher nos ayuda a comprender mejor

las propiedades de estas tres geometrías
y, a su vez, las matemáticas nos permiten entender
mejor la obra de Escher, y apreciarla como un catálogo bastante
completo de imágenes que ilustran cómo fueron cambiando
las nociones de geometría y simetría en matemáticas
desde finales del siglo XVIII (en que sólo se concebía como tal
la geometría euclídea), hasta principios del siglo XX.

Escher y el plano euclídeo
Muchos de los grabados más conocidos de Escher están basados
en la división regular del plano: recubrir de forma regular
el plano mediante losetas. Este tipo de construcciones se
conocen como enlosetados, y consisten en figuras en forma de
pájaros, peces, ángeles y otras formas animadas con las que,
utilizadas como los zelig árabes que las inspiraron, se recubre
todo el plano.

No es de extrañar que su visita a la Alhambra despertase en
Escher una pasión por el estudio de la simetría que le duró
toda su vida, pues la Alhambra nos ofrece un catálogo completo
de todos los enlosetados posibles (Costa, 1995).

Ha sido necesario definir con precisión nociones como
grupo, grupo de simetrías o el paralelogramo básico de un
enlosetado y, dando un paso más en el proceso de abstracción,
identificar este paralelogramo con un toro (una rosquilla), un
paso con el que el problema original (encontrar de cuántas
maneras distintas se puede recubrir un plano con losetas)

referido a un plano, se convierte en un problema espacial, el 

estudio de ciertas transformaciones de un toro.

Basándose en los dibujos del artículo de Pólya, Escher desarrolló a lo largo de cuatro años sus propias teorías y explicaciones (“populares”, no técnicas) sobre cómo construir las diecisiete simetrías planas, y las recogió en un cuaderno al que tituló “División regular de un plano con polinomios congruentes asimétricos”. Este cuaderno fue la fuente en que basó mucho de su trabajo posterior.

Escher y el plano hiperbólico
En efecto, en 1958 la matemática volvió a inspirar a Escher cuando, en el artículo “Cristal Symmetry and Its Generalizations” de H.S.M. Coxeter (1957), encontró un enlosetado del modelo que Henri Poincaré construyó del plano hiperbólico,
una superficie no euclídea en la que, como ya se ha
comentado, por cada punto pasan una infinidad de rectas paralelas a una dada.

De nuevo, para llevar a cabo sus construcciones no necesitaba entender las matemáticas,
le bastaba con que le indicasen cómo medir, esto es, cómo son las rectas en la nueva situación, que es precisamente lo que ilustra la gráfica de Coxeter. La propiedad métrica que caracteriza al mundo de Poincaré es que todo va disminuyendo de
tamaño al aproximarse al borde del mundo, y haciéndose cada vez más grande al ir alejándose de él.

Escher y las curvas elípticas
Hace unos años, el matemático holandés
Hendrick Lenstra viajaba de San Francisco a Amsterdam en
avión, y en la revista de la compañía aérea encontró reproducida
una litografía bastante inusual que Escher hizo en
1956.

Prentententoonstelling (La Galería de Grabados), la tituló
Escher, y muestra un hombre en una galería de arte contemplando
una imagen del puerto marítimo de Malta. Cuando
los ojos del hombre recorren los edificios que, junto al malecón,
aparecen en el grabado, descubre entre ellos la propia
galería en la que él se encuentra. Una mancha circular blanca
aparece en mitad de la litografía, y sobre ella el monograma
de Escher con su firma.

Buscando entretenerse durante el viaje, Lenstra se preguntó
por qué aparece el agujero blanco en el centro y si habría alguna
manera satisfactoria de rellenarlo utilizando las matemáticas.
Para poder contestar a estas preguntas necesitaba entender
qué había hecho Escher en el cuadro, la estructura interna
tras La Galería de Grabados. Lo primero que le llamó la atención
es que, como ya hemos mencionado, la galería donde está
el joven vuelve a reproducirse en el interior del cuadro, sugiriendo
que lo mismo debería ocurrir tras el borrón blanco;
dicho con otras palabras, que estamos ante lo que Lenstra, en
homenaje al famoso chocolate holandés, llama efecto Droste.

Si Escher, artista, había encontrado las instrucciones para utilizar
las matemáticas en las ilustraciones de matemáticos, es
lógico que Lenstra, matemático, buscase las pistas de cómo
utilizar las matemáticas en las ilustraciones de los artistas. Al
llegar a Holanda, consultó el libro El espejo mágico de M.C.
Escher, escrito por el amigo del artista Hans de Rijk bajo el
seudónimo de Bruno Ernst. Rijk visitó con frecuencia a
Escher en su estudio mientras éste trabajaba en La Galería de

Grabados y su libro, revisado y autorizado por el propio artista,
describe con detalle el método que éste utilizó, y explica
que lo que Escher intentaba es una expansión circular continua,
una protuberancia o abultamiento en una formación de
anillo cerrado, sin principio ni fin. Buscando esta construcción
—para la que no encontró ayuda en las ilustraciones de
los textos matemáticos que consultó, lo que no es de sorprender,
pues las curvas elípticas estaban todavía poco estudiadas
a mediados del siglo XX—, Escher creó primero esta expansión
o abultamiento en una trama de líneas rectas, distorsionándola
y haciendo que el tamaño de los cuadrados de la
trama creciesen un factor de 256 según se movía a lo largo de
un bucle cuadrado desde el centro hacia afuera

Ni el tamaño ni los cálculos supusieron un problema
para Lenstra (como lo fué para Escher),

matemático en el siglo XXI, ¿para qué, si no,
están los ordenadores? Mirando la imagen de la trama distorsionada de Escher en el libro de Rijk, se preguntó, ¿Hay alguna transformación matemática que nos permita reproducir el proceso llevado a cabo por Escher? La respuesta es sí.
No tenemos más que combinar rotaciones, funciones exponenciales y logarítmicas, y reducción de tamaño o escala, transformaciones todas ellas muy conocidas y estudiadas en el Bachillerato. Combinando estas cuatro funciones para valores apropiados de las constantes (que encontraron por el método de ir probando hasta acertar) Lenstra y su equipo de
la Universidad de Leiden lograron entender la imagen de Escher; el grabado contiene una copia de sí mismo rotada 157,6255960832... y reducida en escala por un factor de 22,5836845286... (Lenstra y Smit, 2003).

Con esta información, y utilizando ordenadores, el equipo
holandés de matemáticos pudo “rellenar el agujero”.